Forskjell mellom rasjonelle og irrasjonelle tall Forskjellen mellom
Begrepet "tall" bringer oss i betraktning hva som generelt er klassifisert som positive heltallverdier som er større enn null. Andre klasser av tall inkluderer hele tallene og fraksjoner , komplekse og ekte tall og også negative heltallverdier .
Utvid klassifiseringen av tall ytterligere, vi møter rasjonelle og irrasjonelle tall. Et rasjonelt tall er et tall som kan skrives som en brøkdel. Med andre ord kan det rasjonelle tallet skrives som et forhold på to tall.
Tenk for eksempel tallet 6 . Det kan skrives som forholdet mellom to tall, f.eks. 6 og 1 , som fører til forholdet 6/1 . På samme måte er 2/3 , som er skrevet som en brøkdel, et rasjonelt tall.
Vi kan således definere et rasjonelt tall, som et tall som er skrevet i form av en brøkdel, hvor både telleren (tallet på toppen) og nevnen (tallet på bunnen) er hele tall. Per definisjon er derfor hele hele tallet også et rasjonelt tall.
Et forhold på to store tall som ( 129, 367, 871 ) / ( 547, 724, 863 ) vil også utgjøre et eksempel på et rasjonelt tall for den enkle grunnen til at både teller og nevner er hele tall.
Omvendt kan et tall som ikke kan uttrykkes i form av en brøkdel eller et forhold betegnes som irrasjonell. Det mest brukte eksemplet på et irrasjonelt tall er √ 2 ( 1. 414213 …) . Et annet populært eksempel på et irrasjonelt tall er den numeriske konstanten π ( 3. 141592 … ) .
Et irrasjonelt tall kan skrives som en desimal, men ikke som en brøkdel. Irrasjonelle tall brukes ikke ofte i det daglige livet, selv om de eksisterer på nummerlinjen. Det er et uendelig antall irrasjonelle tall mellom 0 og 1 på nummerlinjen. Et irrasjonelt tall har endeløse ikke-gjentatte siffer til høyre for desimaltegnet.
Merk at den gjentatte verdien av 22/7 for konstanten π faktisk bare er en verdi av π >. Per definisjon er omkretsen av en sirkel dividert med to ganger dens radius verdien av π. Dette fører til flere verdier på π , inkludert, men ikke begrenset til, 333/106, 355/113 og så videre1. Bare de firkantede røttene til firkantene; Jeg. e., kvadratrøttene til
perfekte firkanter er rasjonelle.
√2√1 = 1 (Rational)
√2 (irrasjonell)
√3 (irrasjonell)
√4 < = 2 (rasjonell) √5, √6, √7, √8
(irrasjonell) √9
= 3 (rasjonell) og så videre. Videre bemerker vi at bare
n røttene til n krefter er rasjonelle. Således er 6th roten til 64 rasjonell, fordi 64 er en 6th kraft, nemlig 6th kraft på 2 . Men 6th roten til 63 er irrasjonell. 63 er ikke en perfekt 6 th kraft.
Når vi uttrykker et
rasjonelt tall som desimal, blir desimaltallet nøyaktig (som i 1/5 = 0. 20) eller det vil være inaktivt (som i, 1/3 ≈ 0. 3333 ). I begge tilfeller vil det være et forutsigbart mønster av sifre. Vær oppmerksom på at når et irrasjonelt tall er uttrykt som desimal, så vil det tydeligvis ikke utføres, for ellers vil nummeret være rasjonelt. Videre vil det ikke være et forutsigbart mønster av sifre. For eksempel
√2 ≈
1. 4142135623730950488016887242097 Nå, med rasjonelle tall, møter vi av og til
1/11 = 0. 0909090 . Bruken av både likestegnet (= ) og tre punkter ( ellipsis ) innebærer at det ikke er mulig å uttrykke 1/11 nøyaktig Som desimaltall kan vi likevel tilpasse det med så mange desimaltall som tillatt å komme nær 1/11 . Således er desimalformen for
1/11 ansett som uaktsom. På samme måte er desimalformen ¼ som er 0. 25, nøyaktig. Kommer til desimalform for irrasjonelle tall, vil de alltid være uaktuelle. Fortsetter med eksempelet på
√ 2 , når vi skriver √2 = 1. 41421356237 … (merk bruk av ellipsis), betyr det umiddelbart at ingen desimal for > √2 vil være nøyaktig. Videre vil det ikke være et forutsigbart mønster av sifre. Ved å bruke begreper fra numeriske metoder igjen kan vi rationelt omtrentliggjøre for så mange desimaltall som til et slikt punkt at vi er nær √2 . Eventuelle notater om rasjonelle og irrasjonelle tall kan ikke ende uten det obligatoriske beviset på hvorfor √2 er irrasjonell. På den måten belyser vi også det klassiske eksempelet på et bevis ved hjelp av rad 999.
Anta at √2 er rasjonell. Dette fører oss til å representere det som et forhold på to heltall, si p
ogq . √2 = p / q Unødvendig å si, p
og
q har ingen felles faktorer, for hvis det skulle være noen vanlige faktorer, ville vi ha kansellert dem ut fra telleren og nevneren. Squaring begge sider av ligningen, slutter vi med, - 9 -> 2 = p
2
/ q2 Dette kan enkelt skrives som p 2
= 2q > 2
Den siste ligningen antyder at p 2 er jevn. Dette er bare mulig hvis
p selv er jevnt. Dette innebærer igjen at p 2 er delelig med 4 . Derfor må q 2 og følgelig q være jevn.Så p og q er begge like, som er en motsetning til vår opprinnelige antagelse om at de ikke har noen felles faktorer. Dermed kan √2 ikke være rasjonell. Q. E. D.
