Forskjell mellom Laplace og Fourier Transforms

Laplace vs Fourier Transforms

Både Laplace transform og Fourier transform er integrerte transformasjoner, som oftest brukes som matematiske metoder til løse matematisk modellerte fysiske systemer. Prosessen er enkel. En kompleks matematisk modell konverteres til en enklere, oppløselig modell ved hjelp av en integrert transformasjon. Når den enklere modellen er løst, blir den inverse integraltransformen påført, noe som vil gi løsningen til den opprinnelige modellen.

For eksempel, siden de fleste fysiske systemene resulterer i differensialligninger, kan de omdannes til algebraiske ligninger eller i lavere grad lettoppløselige differensialligninger ved hjelp av en integrert transformasjon. Da blir det enklere å løse problemet.

Hva er Laplace-transformasjonen?

Gitt en funksjon f (t) av en ekte variabel t, er dens Laplace-transformasjon definert av integralet

(når det eksisterer), som er en funksjon av en kompleks variabel s. Det betegnes vanligvis ved L { f (t)}. Den inverse Laplace-transformasjonen av en funksjon F (s) er ansett for å være funksjonen f (t) på en slik måte at L { f (t)} F (s), og i den vanlige matematiske notasjonen skriver vi L ^-1 { F (s)} = f (t). Den omvendte transformasjonen kan gjøres unik hvis nullfunksjoner ikke er tillatt. Man kan identifisere disse to som lineære operatører definert i funksjonsområdet, og det er også lett å se det, L ^-1 {L { f (t)}} = f (t), hvis nullfunksjoner ikke er tillatt.

Følgende tabell viser Laplace-transformasjonene av noen av de vanligste funksjonene.

Hva er Fourier-transformasjonen?

Gitt en funksjon f (t) av en ekte variabel t, er dens Laplace-transformasjon definert av integralet

(når det eksisterer), og er vanligvis betegnet av F { f (t)}. Den inverse transformen F ^-1 { F (α)} er gitt av integralet

. Fourier-transformasjonen er også lineær, og kan betraktes som en operatør definert i funksjonsområdet.

Ved hjelp av Fourier-transformasjonen kan den opprinnelige funksjonen skrives på følgende måte, forutsatt at funksjonen bare har endelige antall diskontinuiteter og er helt integrert.

Hva er forskjellen mellom Laplace og Fourier Transforms?

• Fourier-transformasjonen av en funksjon f (t) er definert som

  

  , mens laplace-transformasjonen av den er definert til

  

  .
• Fourier-transformasjonen er bare definert for funksjoner som er definert for alle reelle tall, mens Laplace-transformasjonen ikke krever at funksjonen skal defineres på satt de negative reelle tallene.
• Fourier-transform er et spesielt tilfelle av Laplace-transformasjonen. Det kan sees at begge sammenfaller for ikke-negative reelle tall. (dvs. ta s i Laplace å være iα + β hvor α og β er ekte slik at / ^{√ (2ᴫ)} ) _{Hver funksjon som har en Fourier-transformasjon vil ha en Laplace transform, men ikke vice- versa.}